常微分方程式を計算機で解く方法を解説する。 これは齊藤宣一『数値解析』の第4章の読書ノートである。

4.1 初期値問題とオイラー法

　常微分方程式の初期値問題

\[\begin{array}{ccc} u(0) &=& a \\ \frac{du}{dt}(t) &=& f(t, u(t)) \end{array}\]

を考える。ただし、 関数 \(f(t, y)\) は \(y\) に関してリプシッツ連続であるとする。すなわち、正数 \(\lambda > 0\) が存在して、 任意の \(t, y, z\) に対して \(\left| f(t, y) - f(t, z) \right| \leq \lambda\left| y-z \right|\) が成り立つとする。 また、この微分方程式が閉区間上でなめらかな解 \(u\colon [0, T] \to \mathbb{R}\) をもつとする。

　この常微分方程式の数値解法で最も基礎的なものは、オイラー法と呼ばれるものである。オイラー法は、解関数 \(u(t)\) を離散化し、常微分方程式に対応する差分方程式を解く。

オイラー法

　自然数 \(N \in \mathbb{N}\) をとり、 \(h := T/N, t_n := nh\) とする。数列 \(\{U_n\}_{n=0}^N\) を漸化式

\[\begin{array}{ccc} U_0 &=& a \\ \frac{U_{n+1} - U_n}{h} &=& f(t_n, U_n) \end{array}\]

によって定める。これを解くと \(U_n \approx u(t_n)\) となることが期待される。この解法をオイラー法という。

定理（オイラー法の誤差評価）

　上記の設定のもとで、ある正の定数 \(B_2\) が存在して、任意の \(n (0 \leq n \leq N)\) に対して、数値解の誤差 \(E_n := u(t_n) - U_n\) は

\[|E_n| \leq B_2 \frac{e^{T\lambda} - 1}{\lambda} h\]

を満たす。

証明

　平均値の定理より、 \(\xi \in [t_n, t_{n+1}]\) が存在して、

\[\begin{eqnarray} E_{n+1} - E_n &=& [u(t_{n+1}) - u(t_n)] - [U_{n+1} - U_n] \\ &=& [u'(t_n)h + \frac{1}{2}u''(\xi)h^2] - hf(t_n, U_n) \\ &=& h[f(t_n, u(t_n)) - f(t_n, U_n)] + \frac{1}{2} u''(\xi)h^2\end{eqnarray}\]

が成り立つ。 　リプシッツ連続性より、

\[\begin{eqnarray}|E_n| &=& \left|E_{n-1} + h [f(t_{n-1}, u(t_{n-1})) - f(t_{n-1}, U_{n-1})] + \frac{1}{2} u''(\xi)h^2 \right| \\ &\leq & |E_{n-1}| + h\lambda|u(t_{n-1}) - U_{n-1}| + \frac{1}{2}\|u''\|_{\max} h^2\\ &=& \left| E_{n-1} \right| (1+h\lambda) + \frac{1}{2}\|u''\|_\max h^2\end{eqnarray}\]

が成り立つ。ここで、 \(B_2 := \frac{1}{2} \| u''\|_{\max}\) とおく。すると、

\[\begin{eqnarray} \left| E_n \right| &\leq& \left| E_{n-1} \right| (1+h\lambda) + B_2 h^2 \\ &\leq& \cdots \\ &\leq& |E_0|(1+h\lambda)^n + B_2 h^2\frac{(1+h\lambda)^n -1}{(1+h\lambda) - 1} \\&=& B_2 \frac{(1+h\lambda)^n - 1}{\lambda}h \\&\leq& B_2 \frac{e^{nh\lambda}-1}{\lambda}h \\&\leq&B_2\frac{e^{T\lambda}-1}{\lambda}h\end{eqnarray}\]

と計算できる。

参考文献

  • 齊藤宣一『数値解析』